Am crezut că îmi scot creierii din mucezeală, dar de fapt mă enervai întrucâtva urmărind o așa-zisă provocare a unei profe de mate pe care Prelipceanu i-a prezentat-o lui Nicușor Dan în seara de 5 septembrie. Este adevărat, Nicușor Dan a început bine, în sensul că nu e departe de felul în care am început eu să abordez problema, dar nu a ajuns la nici un rezultat în timpul avut la dispoziție. Nici n-ar fi avut cum. Dar mai grav mi se pare că, matematician fiind, nu cunoștea problema!

Pe site-ul Digi24

Iată ce a fost postat ulterior pe site: Problema de clasa a IV-a care îi încuie pe toți. Nicușor Dan a acceptat să o rezolve în direct la Digi24. Sper ca acest video să nu dispară, el este exact cel care apare pe site, dar fără publicitatea interstițială:

Cum începusem eu

Enunțul, în care y reprezintă ultima cifră, iar x sunt celelalte cifre care compun numărul inițial:

Egalitatea B = 2·A am întors-o drept 2·A = B:

în care n reprezintă numărul de cifre care compun numărul x.

Nu mai reiau aici ce am încercat pe hârtie. N-avea cum să fie o problemă de clasa a patra! De fapt, dacă urmăriți abordarea lui Nicușor Dan, el se bazează pe încercări (fără finalizare, ca să zic așa), dar pe încercări. Și-atunci mi-am zis să încerc mai băbește, dacă tot vorbim de clasa a IV-a. Inutil, după cum se va vedea.

Este clar că nu poate fi vorba de un număr gen 333, 666, 777, căci mutarea ultimei cifre în față nu schimbă nimic. Este la fel de clar că ultima cifră nu poate fi zero, căci mutarea în față duce la un număr de 10 ori mai mic, nicidecum dublu. Iar faptul că mutarea cifrei în față duce un număr care e dublul altuia înseamnă că ultima cifră a numărului x, adică penultima cifră a numărului A, este pară.

S-o luăm ca la clasa a doua:

25 → 52 (prea mare: 50 + 2)
24 → 42 (e și mai departe: 48 – 6)
23 → 32 (nu aer sens, se îndepărtează de dublu)
26 → 62 (departe: 52 + 8)

S-ar zice că ultima cifră a numărului inițial, adică y, parcă ar vrea ea să fie 5, dar nu reușește. Căci încercând cu numere de 3 cifre, eșuăm lamentabil:

255 → 525 (510 + 15)
256 → 625 (ca să verificăm că e mai rău)
265 → 526 (530 – 4)

Deci parcă penultima cifră ar vrea să fie 6, dar nu merge. Nu mai redau ce am încercat cu numere de 4 cifre.

Concluzie de clasa a patra: abordarea asta nu merge. Cel mai probabil, ultima cifră nu este 5. Problema asta are un schepsis.

ChatGPT fumează ceva ilegal

Ce-ar fi să întreb bestia, mi-am zis într-o doară. Ca de obicei, când e vorba de calcule, ChatGPT e pe ulei. Iată conversația pe care am avut-o cu parascovenia:

Așadar, face calcule tembele, îl corectezi, face alte calcule tembele, iar în final ți-o trântește din senin:

După verificări și calcule, numărul care îndeplinește condiția este:
N = 105263157894736842

Ce face, mă?! Care calcule?! Și ce e pacostea asta de număr? Problemă de clasa a patra, zici, ăi?

Schepsisul, pe numele său Dyson (nu cel cu aspiratoarele)

Dacă ne uităm în Wikipedia, vedem că acest număr este cel mai mic număr parazitar sau Dyson față de 2.

Definiția unui „număr parazitar” în sine este tâmpită; hai să încerc să o reformulez:

Un număr n-parazitar (unde 1 <= n <= 9, iar în speță n = 2) este un număr care, atunci când este înmulțit cu n, duce la un rezultat care diferă de numărul inițial doar prin faptul că cifra sa cea mai din dreapta este transferată în fața numărului.

Mai puțin sadică ar fi fost următoarea problemă, dar tot rămâne dificilă pentru clasa a patra:

Ultima cifră a unui număr natural se mută în față. Numărul obținut este de 4 ori mai mare decât numărul inițial. Care este cel mai mic număr care satisface această condiție? Dar pentru cazul când rezultatul este de 5 ori mai mare?

Soluții (tot din Wikpedia): 102564 (102564 * 4 = 410256), respectiv 142857 (142857 * 5 = 714285).

Dar ce-a avut nenea Dyson cu noi? The New York Times Magazine, March 25, 2009, The Civil Heretic:

FOR MORE THAN HALF A CENTURY the eminent physicist Freeman Dyson has quietly resided in Prince­ton, N.J., on the wooded former farmland that is home to his employer, the Institute for Advanced Study, this country’s most rarefied community of scholars. Lately, however, since coming “out of the closet as far as global warming is concerned,” as Dyson sometimes puts it, there has been noise all around him. Chat rooms, Web threads, editors’ letter boxes and Dyson’s own e-mail queue resonate with a thermal current of invective in which Dyson has discovered himself variously described as “a pompous twit,” “a blowhard,” “a cesspool of misinformation,” “an old coot riding into the sunset” and, perhaps inevitably, “a mad scientist.” Dyson had proposed that whatever inflammations the climate was experiencing might be a good thing because carbon dioxide helps plants of all kinds grow. Then he added the caveat that if CO2 levels soared too high, they could be soothed by the mass cultivation of specially bred “carbon-eating trees,” whereupon the University of Chicago law professor Eric Posner looked through the thick grove of honorary degrees Dyson has been awarded — there are 21 from universities like Georgetown, Princeton and Oxford — and suggested that “perhaps trees can also be designed so that they can give directions to lost hikers.” Dyson’s son, George, a technology historian, says his father’s views have cooled friendships, while many others have concluded that time has cost Dyson something else. There is the suspicion that, at age 85, a great scientist of the 20th century is no longer just far out, he is far gone — out of his beautiful mind.

But in the considered opinion of the neurologist Oliver Sacks, Dyson’s friend and fellow English expatriate, this is far from the case. “His mind is still so open and flexible,” Sacks says. Which makes Dyson something far more formidable than just the latest peevish right-wing climate-change denier. Dyson is a scientist whose intelligence is revered by other scientists — William Press, former deputy director of the Los Alamos National Laboratory and now a professor of computer science at the University of Texas, calls him “infinitely smart.” Dyson — a mathematics prodigy who came to this country at 23 and right away contributed seminal work to physics by unifying quantum and electrodynamic theory — not only did path-breaking science of his own; he also witnessed the development of modern physics, thinking alongside most of the luminous figures of the age, including Einstein, Richard Feynman, Niels Bohr, Enrico Fermi, Hans Bethe, Edward Teller, J. Robert Oppenheimer and Edward Witten, the “high priest of string theory” whose office at the institute is just across the hall from Dyson’s. Yet instead of hewing to that fundamental field, Dyson chose to pursue broader and more unusual pursuits than most physicists — and has lived a more original life.

Personajul a fost un ilustru excentric. Mi-a plăcut faza cu încălzirea globală. Acum mi-am adus aminte că l-am apucat vituperând împotriva dogmei CO2-ului (a murit în 2020):

IT WAS FOUR YEARS AGO (deci în 2005) that Dyson began publicly stating his doubts about climate change. Speaking at the Frederick S. Pardee Center for the Study of the Longer-Range Future at Boston University, Dyson announced that “all the fuss about global warming is grossly exaggerated.” Since then he has only heated up his misgivings, declaring in a 2007 interview with Salon.com that “the fact that the climate is getting warmer doesn’t scare me at all” and writing in an essay for The New York Review of Books, the left-leaning publication that is to gravitas what the Beagle was to Darwin, that climate change has become an “obsession” — the primary article of faith for “a worldwide secular religion” known as environmentalism. Among those he considers true believers, Dyson has been particularly dismissive of Al Gore, whom Dyson calls climate change’s “chief propagandist,” and James Hansen, the head of the NASA Goddard Institute for Space Studies in New York and an adviser to Gore’s film, “An Inconvenient Truth.” Dyson accuses them of relying too heavily on computer-generated climate models that foresee a Grand Guignol of imminent world devastation as icecaps melt, oceans rise and storms and plagues sweep the earth, and he blames the pair’s “lousy science” for “distracting public attention” from “more serious and more immediate dangers to the planet.”

De asemenea:

Dyson well remembers the lethal black London coal fog of his youth when, after a day of visiting the city, he would return to his hometown of Winchester with his white shirt collar turned black. Coal, Dyson says, contains “real pollutants” like soot, sulphur and nitrogen oxides, “really nasty stuff that makes people sick and looks ugly.” These are “rightly considered a moral evil,” he says, but they “can be reduced to low levels by scrubbers at an affordable cost.” He says Hansen “exploits” the toxic elements of burning coal as a way of condemning the carbon dioxide it releases, “which cannot be reduced at an affordable cost, but does not do any substantial harm.”

Mega-savantul era empirist și nu a obținut niciodată un doctorat!

What may trouble Dyson most about climate change are the experts. Experts are, he thinks, too often crippled by the conventional wisdom they create, leading to the belief that “they know it all.” The men he most admires tend to be what he calls “amateurs,” inventive spirits of uncredentialed brilliance like Bernhard Schmidt, an eccentric one-armed alcoholic telescope-lens designer; Milton Humason, a janitor at Mount Wilson Observatory in California whose native scientific aptitude was such that he was promoted to staff astronomer; and especially Darwin, who, Dyson says, “was really an amateur and beat the professionals at their own game.” It’s a point of pride with Dyson that in 1951 he became a member of the physics faculty at Cornell and then, two years later, moved on to the Institute for Advanced Study, where he became an influential man, a pragmatist providing solutions to the military and Congress, and also the 2000 winner of the $1 million Templeton Prize for broadening the understanding of science and religion, an award previously given to Mother Teresa and Aleksandr Solzhenitsyn — all without ever earning a Ph.D. Dyson may, in fact, be the ultimate outsider-insider, “the world’s most civil heretic,” as the classical composer Paul Moravec, the artistic consultant at the institute, says of him.

Climate-change specialists often speak of global warming as a matter of moral conscience. Dyson says he thinks they sound presumptuous. As he warned that day four years ago at Boston University, the history of science is filled with those “who make confident predictions about the future and end up believing their predictions,” and he cites examples of things people anticipated to the point of terrified certainty that never actually occurred, ranging from hellfire, to Hitler’s atomic bomb, to the Y2K millennium bug. “It’s always possible Hansen could turn out to be right,” he says of the climate scientist. “If what he says were obviously wrong, he wouldn’t have achieved what he has. But Hansen has turned his science into ideology. He’s a very persuasive fellow and has the air of knowing everything. He has all the credentials. I have none. I don’t have a Ph.D. He’s published hundreds of papers on climate. I haven’t. By the public standard he’s qualified to talk and I’m not. But I do because I think I’m right. I think I have a broad view of the subject, which Hansen does not. I think it’s true my career doesn’t depend on it, whereas his does. I never claim to be an expert on climate. I think it’s more a matter of judgement than knowledge.”

Același articol are o legendă la desenele din copilărie ale lui Dyson:

The Apprentice Scientist: “An Esay at Natural History,” age 6; the last page of a three-page treatise on “Astronomy,” age 5; and a sketch of a passenger-bearing spaceship from the unfinished science-fiction story “Sir Phillip Roberts’s Erolunar Collision,” age 9.

Vouă cum vi s-a părut calculul diferențial și integral? (Calculus în engleză.)

Four years later he entered Winchester College, well known for academic rigor, and he thrived. On his own in the school library, he read mathematical works in French and German and, at age 13, taught himself calculus from an Encyclopedia Britannica entry. “I remember thinking, Is that it?” he says. “People had been telling me how hard it was.”

Tipul era mai mult decât beton:

In 1947, Dyson enrolled as a doctoral candidate at Cornell, studying with Hans Bethe, who had the reputation of being the greatest problem-solver in physics. […] Bethe gave Dyson a problem and told him to come back in six months. […] This smaller problem was part of a much larger one inherited from Einstein, among others, involving the need for a theory to describe the behavior of atoms and electrons emitting and absorbing light. Put another way, it was the question of how to move physics forward, creating agreement among the disparate laws of atomic structure, radiation, solid-state physics, plasma physics, maser and laser technology, optical and microwave spectroscopy, electronics and chemistry. Many were working on achieving this broad rapport, including Julian Schwinger at Harvard University; a Japanese physicist named Shinichiro Tomonaga, whose calculations arrived in America from war-depleted Kyoto on cheap brown paper; and Feynman, also at Cornell, a man so brilliant he did complex calculations in his head. […]

The breakthrough came on summer trips Dyson made in 1948, traveling around America by Greyhound bus and also, for four days, in a car with Feynman. […] Dyson sat aboard his final Greyhound of the summer, heading East. He had no pencil or paper. He was thinking very hard. On a bumpy stretch of highway, long after dark, somewhere out in the middle of Nebraska, Dyson says, “Suddenly the physics problem became clear.” What Feynman, Schwinger and Tomonaga were doing was stylistically different, but it was all “fundamentally the same.” […] There, with Einstein indifferent to him and the chain-smoking Oppenheimer openly doubting Dyson’s physics, Dyson wrote his renowned paper “The Radiation Theories of Tomonaga, Schwinger and Feynman.” Oppenheimer sent Dyson a note: “Nolo contendere — R.O.” If you could do that in a year, who needed a Ph.D.?

Iată că ajungem și la „problema de clasa a patra”!

A group of scientists will be sitting around the cafeteria, and one will idly wonder if there is an integer where, if you take its last digit and move it to the front, turning, say, 112 to 211, it’s possible to exactly double the value. Dyson will immediately say, “Oh, that’s not difficult,” allow two short beats to pass and then add, “but of course the smallest such number is 18 digits long.”

Dar pentru soluția „de clasa a patra”, avem de căutat altundeva. Problema este menționată și în articolul din 6 aprilie 2009, Freeman Dyson’s 4th-Grade Math Puzzle, dar fără soluție, doar cu următoarea mențiune:

Don’t worry — you don’t need any kind of award (or computer) to do this calculation. “Dyson wasn’t being coy when he said the problem isn’t difficult ­ once you know how to solve it,” says Pradeep Mutalik, a scientist at the Center for Medical Informatics at Yale. “In fact, the procedure to find the answer requires no more than 4th-grade arithmetic skills. I know, because I actually showed my fourth-grader daughter, Maya, how to do it, and she had no problem whatsoever in computing the answer.”

Soluția a fost publicată pe 10 aprilie, în Puzzle Answers From a 4th-Grader and Freeman Dyson. Desenul publicat, sau mai exact cel scanat pentru arhivă, este mizerabil, dar l-am curățat și lărgit cu PicWish:

Explicațiile:

I wrote down the numeral “2” at the right edge of a blank sheet of paper. Under it I wrote “x 2” just as they do at school for a single digit multiplication. I did not draw a line below where the answer would normally be written. Instead, I told her to put the answer to the left of whatever was already there in the top line, putting any carries to the left and above the digit, just as in a regular multiplication. I told her to keep on going till she reached an answer of “1” with no remaining carry.

Voila, the Dyson number for 2: the 18-digit number 105,263,157,894,736,842!

This procedure, which I call “multiplication in situ,” is great, because not only does it generate the number, but also tests it at the same time! The multiplication and sequence of carries is exactly what it would be if you were trying to test that the number satisfies the Dyson condition of multiplying by 2. Try it – you’ll find it has already been done except for the final step.

The excellent teachers at Turkey Hill School in Orange, Conn., have taught Maya to circle the carry once she has used it: a good habit for anyone to develop, as it avoids senior moments in more complex multiplications. When I asked Maya not to do it “just this once” for aesthetic reasons, she stubbornly refused. Here’s a case where I’m definitely not as smart as my fourth-grader!

Nu am înțeles nimic! De ce să încep din dreapta cu 2, pe care să-l tot multiplic? De unde știu că numărul inițial se termină cu 2? Pur și simplu nu știu, iar asta reprezintă o trișare! Penultima cifră este musai pară, dar ultima cifră ar fi putut fi orice!

Copilul nu a rezolvat problema de capul său, asta este clar.

Dl. Dr. Mutalik a mâncat rahat cu polonicul. Dar cică a mai și explicat:

Let me try to analyze Dyson’s feat with no deeper math than the fourth-grader’s procedure we just did. Note that Dyson did not say what the number was – he just said it had 18 digits. Here’s a simple reason why 18 comes naturally into this. As we saw, our procedure ends when we reach a point where there is no carry and the digit generated is 1. If you think of the carry and the digit as a two-digit number, at every step of the multiplication you generate a new such two-digit number in the range 00 to 19, from the number that was already there. Now out of the 20 such numbers (00 to 19), two of them (00 and 19) can only be generated by themselves, and can only generate themselves. The other 18 generate each other in a cycle. So within 18 steps, no matter what happens, each one of them must be generated, and we will have our Dyson number.

So 18 digits is the maximum limit on how long the Dyson number for 2 can be. Could it have been shorter? Yes, if the cycle had ended earlier, in 2 steps or 9 steps for example. The reason it does not is because of a special property of the prime number 19. How does 19 get into it, you ask? Because, absurd as it may seem, every time you multiply by 2 in positional multiplication, you are actually finding a remainder on 19! To see this, lets take a specific example. Suppose the carry was 1 and the digit just generated was 3 (as it is in the fifth step from the right). The next step will have 3×2 + 1 = 7, with no carry. So from 13, we generated 07. This is exactly the same as multiplying 13 x 2 = 26, and finding the remainder on 19, which is 07. Try it yourself for any step. The technical term for this is called taking the modulus, or finding 26 modulo 19.

Ce vrea să spună individul? Că, de la dreapta la stânga:
2×2=4
4×2=8
8×2=16, „punem 6, ținem 1”
6×2=12, dar „+1 ținut =13, punem 3 și ținem 1”
3×2=6, dar „+1 ținut =7”
și așa am obținut 736842 (cu „2” fiind din burtă, că așa a zis tata).

Dar unde naiba este modulo 19 ăla? Din 13 (de fapt din 3, cu 1 „ținut”) am generat 7, adică 2×13 mod 19. Dar înainte de asta din 16 generasem 3 (de fapt 13, dar „ținem 1”): 2×16 mod 19 = 13. Deși afirmația lui cu „restul împărțirii cu 19” se confirmă, nu prea văd legătura cu 18 cifre, căci particularitatea asta cu „modulo 19” referitor la produsul anterior e de-a dreptul ciudată. Nu a exprimat-o nimeni într-o teoremă, și cu un enunț mai clar și nelegat de tâmpenia asta cu „carried digits”, recte „punem x și ținem y”?!

Îmi răspund singur: ba da! Este vorba de „perioada” 2/19 a numerelor 2-parazitare, după cum dacă era vorba de numerele 4-parazitare, aveam perioada 4/39, deci ar fi fost restul împărțirii la 39. E ultima coloană din tabela din Wikipedia. Dar dracu’ se gândește la asta. Iarăși, turcul din America bate câmpii, iar observația lui nu face parte din logica rezolvitorului de clasa a patra!

NYT ne mai recomandă câteva soluții de la cititori, dar comentariile respective se pare că s-au pierdut. Totuși, în articolul din 13 aprilie Prize for Dyson Puzzle, mai găsim câte ceva.

Periodicitatea, sau „restul” ăla cu 19:

Lars first came up with the answer. Lars was also the first to point out the connection of Dyson numbers to repeating fractions with denominators of 19,29,39 etc. As we saw, these numbers come up naturally in multiplication by 2, 3, 4 etc.

Comentariile cele mai bune, iarăși, nu s-au păstrat, dar avem acest comentariu de la Caroline, care prezintă „soluția Maya Mutalik”:

The Dyson number I get for “2” is

1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2

although I’m sure a million computer-scientists have posted the correct answer by now!

The explanation accompanying my answer won’t be particularly elegant, I’m afraid! This kind of arithmetic isn’t very familiar to me. My approach was to start with the number 2 as my first digit (counting from the right), knowing that my last (left-most) digit would be a 1. I then continued to “double” each previous digit, keeping the remainder after division modulo 10, and carrying whole factors of ten to the next digit. I knew to stop this “doubling” after finding a digit that, once doubled, gave a remainder of zero. I did indeed finish with an 18 digit number, so hopefully I’m on the right track!

Sunt de acord că dacă prima cifră este 1, atunci este logic ca ultima să fie 2, căci ajungând în față, dublează numărul. Dacă ne uităm în tabelul deja menționat, observăm că cele mai mici numere parazitare sunt astfel:

2     1 … 2
3     1 … 3
4     1 … 4
5     1 … 7
6     1 … 6
7     1 … 7
8     1 … 8
9     1 … 9

Doar numărul 5-parazitar nu are ultima cifră de n ori prima! Altminteri, toate încep cu 1. Cum anume ar fi trebuit să-mi dau seama? Cred că la ora asta m-au lăsat neuronii.

Concluzii și opinii opiniâtre

Prima, că deși modul de obținere a soluției este absolut elementar, este extrem de improbabil ca un copil de clasa a patra să-l găsească în mod spontan.

A doua, că soluția prezentată, dincolo de faptul că ar putea fi mincinoasă în sensul că tatăl și-a ajutat fiica prin sugestii bine plasate, nu explică, după cum nu explică nici duduia Carolina, de unde și până unde ar trebui să plec de la ipoteza că ultima cifră este 2! Nu că penultima e pară, ci că ultima e fix 2.

A treia, că Nicușor Dan, cu următorul pedigree: medalie de aur cu punctaj maxim la Olimpiada Internațională de Matematică în clasele a XI-a și XII-a; licențiat în matematică al Universității din București; absolvent al École Normale Supérieure (Paris); masterat la Universitatea Paris-XI (Paris-Sud, astăzi Paris-Saclay), doctorat în matematică la Universitatea Paris-XIII (Paris-Nord, azi Sorbonne-Paris-Nord); nu a cunoscut problema lui Dyson, sau cazul mai general al numerelor n-parazitare, și nici nu a reușit, în câteva minute, să găsească o cale concretă de rezolvare.

A patra, că vaca domnului care a propus această „provocare” este o dobitoacă. Dacă avea ceva de demonstrat cu privire la învățământul românesc, nu așa se face. Problema asta nu demonstrează absolut nimic, afară de faptul că madama este o impertinentă. Dacă ar fi binevoit să și ofere o soluție, cu explicații ca pentru clasa a patra, atunci mi-aș fi scos pălăria pe care nu o am.

Iată că am mai aflat ceva, dar cucoana mi-a pierdut timpul. Și am rămas cu frustrarea că nu am găsit o rezolvare explicată frumos. S-ar putea să existe pe YouTube, dar nu stau să caut pe la toți gargaragiii.

O ultimă precizare: emisiunea din care a fost preluată așa-zisa provocare este „În fața ta” din 31 august, iar înregistrarea se găsește în acest fișier MP4 (o oră și un minut, 571 MB, dar se poate viziona în browser). Problema nu era propriu-zis pentru Nicușor Dan, dar cum cei din redacție nu au putut-o rezolva, Prelipceanu și-a zis că mai bine să se adreseze specialistului. Madama s-a sclifosit că în mod normal trebuie să poți interacționa cu elevul, dar până la urmă, ca răspuns la întrebarea 10/10, a bășit problema discutată:

Ne dați ori nu ne dați? Și a dat la tot cartierul.

Realizare tarrdivă: enunțul decupat de Prelipceanu este de la sfârșitul emisiunii, unde a repetat problema. În enunțul inițial, ca parte a chestionarului de zece întrebări, tovarășa profesoară dădea și un exemplu, „ca să înțelegeți”: „12 … dar nu e bun, pentru că 21 nu este de două ori mai mare decât 12”. De asemenea, în primul articol din NYT se zice: „if you take its last digit and move it to the front, turning, say, 112 to 211”. Dacă aș fi urmărit emisiunea, aș fi fost poate condiționat mental pe ideea „începe cu 1 și se termină cu 2”. Dar, repet, asta nu este o ipoteză automată; ea trebuie justificată, și în sursele prezentate mai sus nu am găsit o justificare clară. Ah, dar o puteți întreba pe emitenta Daniela Vasile, la daniela8128 la yahoo.com. Claudiu Pândaru a promis că „într-o emisiune viitoare” vom afla și soluția.

BONUS inspirat de un comentariu pe FB

BONUS PUZZLE #1: Într-o zi, 3 prieteni (George, Gogu și Ghiță) au decis să meargă la pescuit. Au fost de acord ca toată lumea ia o treime din numărul total de N de pești prinși. După pescuit, s-au dus la culcare. La 3 dimineața, George s-a trezit. A vrut să-și ia 1/3 și să plece, dar și-a dat seama că numărul N al tuturor peștilor prinși nu este divizibil cu 3. Așa că a aruncat un pește în râu, și-a luat treimea din ce a rămas, și a plecat. Apoi, la 4 dimineața, Gogu s-a trezit și a făcut același lucru ca George, apoi a plecat. În sfârșit, la 5 dimineața, Ghiță a fost trezit de ceasul deșteptător. Ghiță a repetat procedeul pentru a-și lua treimea, apoi a plecat, lăsând peștii rămași pentru când s-or întoarce George și Gogu (bietul de el nu știa că fusese dijmuit de aceștia).

Găsiți cel mai mic număr N pentru care povestea de mai sus este posibilă.

Soluții: pentru numere pozitive, 25. Dacă acceptăm și numere negative, iar „cel mai mic” înseamnă „cel mai apropiat de zero”, atunci și -2 este o soluție. Mi s-a spus că formula generală ar fi N = 27n + 25, unde n € Z. Cum s-ar putea ajunge la această formulă generală? Este ea corectă?

BONUS PUZZLE #2: Cinci pisici au naufragiat pe o insulă din mijlocul Oceanului Pacific. În prima zi, au prins câți pești au putut, și i-au pus într-o grămadă mare. Pentru că s-a înserat, mâțele au lăsat împărțirea peștelui pentru a doua zi. Noaptea, fiecare pisică a păzit pe rând grămada, în timp ce restul dormeau.

  • Prima paznică s-a plictisit, așa că a decis să împartă de capul ei peștele în 5 grămezi egale. După ce a făcut asta, a descoperit că i-au rămas doi pești. A dat cei doi pești rămași unui delfin, apoi și-a ascuns partea ei de pește, și a recombinat cele patru grămezi rămase într-o singură grămadă.
  • A doua mâță a făcut același lucru. A împărțit grămada în 5 grămezi egale, apoi a descoperit că mai rămăseseră doi pești. I-a dat delfinului cei doi pești rămași, și-a ascuns partea ei de pește, și a pus laolaltă celelalte patru grămezi.
  • A treia, a patra și a cincea pisică au făcut exact același lucru.
  • A doua zi dimineața, toate cele cinci pisici s-au trezit. Au împărțit peștii rămași în 5 grămezi egale, și fiecare dintre ele a primit câte o grămadă. De data asta nu a mai rămas nici măcar un pește care să strice socoteala.

Care este cel mai mic număr de pești care ar fi putut fi în grămada originală?

Soluție: aici. Este un număr mai mare decât vă așteptați, și trebuie aplicată o formulă referitoare la suma seriilor geometrice, așa că mă tem că nici asta nu este o problemă de clasa a IV-a. Afară de cazul, firește, în care există un mod mai simplu de a ajunge la soluție.

De fapt, cel mai mic număr este 6242. În acest caz, la împărțeala finală (a șasea!), fiecare mâță capătă 408 pești. Soluția prezentată (care face parte din Kwantlen Polytechnic University’s Mathematics Problem of the Week), ajunge la o formulă care pleacă de la această „porție” finală notată cu C, iar cel mai mic întreg pozitiv este 408: din N + 8 = 3125k, se deduce că 5C + 8 = 1024k, care pentru k = 0 sau 1 nu oferă soluții, iar pentru k = 2 rezultă C = 408 și N = 6242. Cum nu se obțin soluții pentru fiecare valoare a lui k, nu ni se oferă o soluție generală.

Ar mai trebui o problemă de genul: șase primari de sectoare și primarul general al Capitalei…

Bonus la bonus!

Apropo de cele de mai sus: s-a discutat oare la clasa a IV-a, din punct de vedere matematic, nu doar așa, „uite ce fază mișto!”, problema celor cinci pâini, care pe vremea mea era prezentată în clasele primare ca o simplă povestire, eventual cu accent pe paradoxul etic, care de fapt rămânea neexplicat de tovarășa învățătoare, care oricum era proastă ca noaptea?

Dar problema moștenirii celor 17 cămile, care și ea cere un artificiu?

Un caz mai general din domeniul ecuațiilor diofantice este problema „maimuța și nucile de cocos”. În versiunea originală prezentată de Martin Gardner, ea a fost culeasă și într-unul din cele șase volume din seria The Scientific American Book of Mathematical Puzzles and Diversions, întreaga colecție cuprinzând de fapt 15 volume. În românește au apărut la Ed. Științifică: Amuzamente matematice, 1968, conținând First and Second Scientific American Book of Mathematical Puzzles and Diversions, apoi Alte amuzamente matematice, 1970, cu volumele trei și patru din serie (pe asta nu am avut-o, am citit-o de la bibliotecă). Problema nucilor de cocos ocupă întregul capitol 9 din Amuzamente matematice, care e scurt, de altfel:

Actualizare: Nicușor se întoarce cu trei soluții!

Pe Nicușor Dan pesemne că l-a „ros” problema, astfel încât nu s-a lăsat până nu a ajuns să ne prezinte și rezolvarea acesteia! Anunțată pe Facebook și însoțită de opt fotografii, prezentarea completă a fost postată pe YouTube. Au observat-o și cei de la Digi24.

Fiind eu „ăla cârcotașu’”, să vă spun ce m-a deranjat din secunda zero: filmarea verticală pentru YouTube. Este filmat cu telefonul în poziție verticală, așa că degeaba vizionez eu videoul pe computer, căci tot un căcat vertical cu benzi laterale văd! Mă așteptam la mai multă glagorie (nu glagore, cum zice DEX) de la Nicușor Dan; n-a fost să fie.

Adică orice om are o vedere panoramică, sau în orice caz „mai mult pe lățime decât pe înălțime”. De când computerele au început să fie utilizate tot mai intensiv pentru vizionarea filmelor, dobitocii de fabricanți de ecrane le-au tot lățit, de la clasicul 4:3 (640×480, 800×600, 1024×768) la 5:4 (1280×1024), pentru a ajunge la 16:9 (1366×768, 1600×900, 1920×1080, 2560×1440, 3840×2160), deși filmele în format 16:9 nu corespund aspectului Cinemascope „adevărat”, care de obicei este 2.39:1, dar poate fi și 2.38:1, 2.35:1, sau 2.4:1, așadar oricum filmele de cinema vor avea benzi deasupra și dedesubt! Chiar și Netflix are multe seriale lansate cu astfel de benzi, iar dacă le elimini, vezi că imaginea are 1920×804, pentru a obține aspectul „cinematic” de 2.39:1. Aici ăștia-s idioți, pentru că un serial nu se difuzează la cinema, iar ecrane cu acest raport de aspect nu există. Sau există?

Idioțenia maximă se întâlnește la telefoane. Smartphone-uri precum iPhone 3GS și LG Optimus Hub E510 (primul meu Android și cel mai frumos telefon din istorie) aveau un raport de aspect de 3:2 (480×320). Foarte repede s-a ajuns la 16:9 (1280×720 aka HD-ul de la TV, apoi 1920×1080), dar ulterior s-a plusat nepermis: 18:9, 19:9, 20:9, 21:9. Dacă 16:9 ar fi putut avea justificarea că „tineretul vrea să se uite la filme FullHD pe smartphone”, evoluția (de fapt, involuția) ulterioară care a făcut aceste aparate tot mai înalte și înguste este un truc de altă natură. Nu, nu filmele Netflix sunt pricina. Nici filmele de cinema, care și pe Bluray și chiar și în 4K, tot în 16:9 sunt lansate, cu benzi negre orizontale dacă se dorește emularea 2.39:1. Astfel de telefoane sunt pentru proștii planetei, care n-au încotro și cumpără ce le oferă „piața”, în realitate oligopolurile pentru oligofreni. Explicația e simplă: cu cât ecranul se îndepărtează mai mult de aspectul 1:1, cu atât el are o suprafață mai mică pentru o diagonală declarată identică! Altfel spus, un ecran cu diagonala de 6” și 16:9 are suprafața de cca. 39 cm². La un aspect de 21:9, diagonala de 6” se obține la o suprafață de cca. 33 cm². Acest truc de care imbecilii de cumpărători nu se sinchisesc a dus într-o primă etapă la evoluția de la 16:9 spre tâmpenia de astăzi într-un mod neașteptat: ecranul își păstra lățimea, dar devenea tot mai înalt, iar producătorii se lăudau că ecranul ar fi „mai mare”: 6.2”, 6.5”, etc. El devenea mai mare, dar nu pe măsura creșterii nominale a diagonalei! Este de înțeles că nu poți ține în palmă o merdenea, dar la ce a ajutat isteria asta? Vom ajunge să avem smartphone-uri ca o baghetă franțuzească!

Măcar de-ar utiliza maimuța secolului 21 aceste ecrane pe măsura posibilităților. Dacă pentru a viziona un film, puțoii și pizdulicele catadicsesc să întoarcă telefonul orizontal (landscape), cum se face că acest lucru nu se întâmplă, ba chiar este descurajat nu doar de TikTok, dar și de Facebook, iar mai recent și de YouTube? Imbecilizarea în masă creată de filmulețele verticale de tipul „FB reels” și „YT shorts” mă scoate din minți! Hai, că TikTok este strict pentru retardați, iar aplicația nu se va adapta la întoarcerea telefonului cu 90 de grade, dar celelalte? Toți cretinii filmează vertical inclusiv scene de război, ca să pună ăștia la jurnalele televizate nu benzi laterale negre, ci benzi gri cețoase umplute cu nu știu ce porțiuni încețoșate (blurred, frate!) din imagine care mai mult dezorientează, obosesc, și enervează. À crétin, crétin et demi.

Iar acum vine Nicușor Dan și filmează cu telefonul în poziție verticală! Mă așteptam de la el la mai mult bun-simț, dar am fost dezamăgit. Ce dracu’ să văd din tabla aia dacă este filmat îngust, ca pentru pitecantropi? Iar cele 8 poze din postarea de pe FB nu ilustrează momente cheie din expozeu, ci sunt așa, pentru efectul artistic. Filmarea m-a călcat pe nervi în așa un hal, încât cu greu m-am putut concentra pe logica expunerii. Nici full-screen nu se vede bine o filmare verticală!

Nu mai spun că dacă Nicușor Dan ar fi prof de mate, ar fi o catastrofă. Neglijent, împrăștiat, neatent la ce scrie. Chiar la început, la minutul unu, zice „20 a”, dar scrie „2a a”. Dă-o, dracului, bre. După ce că ai o caligrafie de neam prost.

PRIMA METODĂ: De bine de rău, se observă că 19 joacă un rol fundamental. „Și-acum, dacă sunt în clasa a IV-a, ipoteza problemei noastre…” Serios? În fine, după 17 încercări, obținem chipurile „de 17 ori cifra 9, urmată de 8”, adică „999999999999999998:19 fără rest”.

GREȘIT! Neglijent, cum spuneam. Sunt doar 16 de 9! Încercați cu WolframAlpha pentru o precizie arbitrară a aritmeticii numerelor întregi: 5263157894736842 * 19 = 99999999999999998

Întregul număr are 17 cifre, iar soluția problemei este 5263157894736842*2 cu un 2 în coadă, așadar 105263157894736842.

În principiu, un elev de clasa a IV-a ar putea obține acest rezultat, dacă se chinuie să împartă la 19 numere tot mai mari, până obține un întreg fără rest. Greu de crezut. Până încerci de 16 ori, te lași păgubaș, fiind cel mai probabil convins că ai luat-o pe o cale greșită!

De observat că metoda este logică, dar diferită de „soluția Maya Mutalik”. Iar aici este reiese în mod logic și de ce ultima cifră este 2.

A DOUA METODĂ: Calcule modulo 19. Atenție la notația cu simbolul congruent, în sensul „modulo (n)”!

Dar și aici avem niște „lucru manual”, căci am de calculat modulo 19 până la 10^17. Neplăcut.

Și nu merge cu raționamentul până la capăt, din păcate. Detest când profesorul spune „mai departe faceți ca mai devreme”. Sau „restul este evident”, ori „restul rămâne ca exercițiu pentru voi”. Dacă elevul ar scrie așa ceva în lucrare sau la tablă, ce notă ar lua? Pe vremea mea, elevului i se cerea o soluție completă.

A TREIA METODĂ: „soluția Maya Mutalik”. Începem fără grabă. Ultima cifră, mutată în față, nu poate fi 1, ca sumă a două numere nenule.

„Și, dacă sunt în clasa a IV-a și am răbdare, iau toate variantele.” Nu, nu e vorba de răbdare. De răbdare era nevoie la primele două metode. Aici e doar un șir (un tren, cum ar spune francezul, o înlănțuire) de operațiuni. Nu e vorba de variante.

Iar aici orice elev de clasa a IV-a are dreptul să se declare pierdut, după cum m-a pierdut pe mine și „soluția Maya Mutalik”. Mă apuc să adun numărul cu el însuși, echivalent cu înmulțirea cu 2 făcută „in place” de Maya.

Ultima cifră este 2, 2+2=4, deci penultima cifră e 4. Pardon, de unde rezultă asta? Uitați-vă la desenul de mai sus. Din raționamentul de până acum nu reiese nici o relație între cifrele componente ale numărului! Adică reiese, dar nu a fost explicat îndeajuns! Cu scriitura neglijentă „care este”, nu sare în ochi.

Explicația care, după mine, lipsește, este următoarea: pentru că ultima cifră s-a mutat în față, penultima cifră a numărului inițial (notat de mine cu A) devine ultima cifră a numărului care e dublul său (notat de mine cu B). De aceea, când adun o cifră din A și obțin rezultatul pe o poziție anume din numărul B, acea cifră rezultată este de fapt cifra cu o poziție mai în față din numărul A! Este absolut elementar, dar face parte din logica utilizată și neexplicată de nimeni! Nici de Mutalik, nici de Nicușor Dan. Prin „explicat”, eu înțeleg „exprimat în mod explicit și în mod logic: pentru că X, atunci Y”.

Și acum e clar, ajungem la „soluția Maya Mutalik”. Asta a fost pentru ultima cifră 2, dar se pot obține și soluțiile următoare, pentru 3 și 4.

CONCLUZII SUPLIMENTARE:

Prima metodă a lui Nicușor continuă abordarea începută în studioul Digi24. Este nepractică în opinia mea.

A doua metodă a lui Nicușor este implauzibilă*, iar raționamentul nu este dus până la capăt.

*termenul nu există nici în DEX și nici în DOOM, iar dacă ar exista, ar trebui format cu in-, pe modelul inimaginabil < FR inimaginable, dar noi am format în mod barbar implauzibil < EN implausible.

A treia metodă a lui Nicușor este cea pe care eu o numesc „soluția Maya Mutalik” și care ar fi adevărata soluție de clasa a IV-a. Dar în absența acelei explicații de doi bani pe care mi-am dat-o singur, și de care sunt convins că ar avea nevoie orice elev de clasa a IV-a, nu văd de ce s-ar apuca cineva să facă această adunare, sau înmulțire cu 2, la care rezultatul este mereu mutat cu un pas mai în față. Elevul trebuie să explice de ce face asta. Soluția oficială, de asemenea.

Ce mai pătrunzătoare minte am avut-o în cei patru ani ai claselor 7, 8, 9, 10. Consider că între 12 și 16 ani am fost mai isteț decât înainte, și mai puțin ramolit decât ulterior. Iată de ce detest soluțiile aruncate acolo, pe tablă sau pe hârtie, fără o explicație exhaustivă din punctul de vedere al parcursului logic. A trebuit să mă enervez pe Nicușor (mai ales că e o tortură pentru mine să urmăresc un video vertical, tind să devin nebun furios!) și să mă întreb „dar de ce mama dracului?!” ca să desenez în culori și să-mi pice fisa.

Cam atât. Cum spuneam, nu mai am 16 ani.